Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，E为DD₁的中点．
（1）求证：BD₁∥平面EAC；
（2）求点D₁到平面EAC的距离．

Answer 1

分析：（1）欲证BD₁∥平面EAC，只需在平面EAC内找一条直线BD₁与平行，根据中位线定理可知EF∥D₁B，满足线面平行的判定定理所需条件，即可得到结论；
（2）设D₁到平面EAC的距离为d，根据VD1-EAC=VA-ED1C建立等式关系可求出d，即可求出点D₁到平面EAC的距离．

解答：解：（1）证明：连接BD交AC于F，连EF．（1分）
因为F为正方形ABCD对角线的交点，
所长F为AC、BD的中点．（3分）
在DDD₁B中，E、F分别为DD₁、DB的中点，
所以EF∥D₁B．（5分）
又EF?平面EAC，所以BD₁∥平面EAC．（7分）
（2）设D₁到平面EAC的距离为d．
在DEAC中，EF^AC，且AC=

2

a，EF=

3

2

a，
所以S△EAC=

1

2

EF•AC=

6

4

a2，
于是VD1-EAC=

1

3

dS△EAC=

6

12

a2d．（9分）
因为VA-ED1C=

1

3

AD•S△ED1C=

1

3

a×

1

2

×

1

2

a×a=

1

12

a3，（11分）
又VD1-EAC=VA-ED1C，即

6

12

a2d=

1

12

a3，（13分）
解得d=

6

6

a，故D₁到平面EAC的距离为

6

6

a．（14分）

点评：本题主要考查了线面平行的判定以及点到平面距离的度量，同时考查了空间想象能力，转化能力和计算求解的能力，属于中档题．