【题目】在平面直角坐标系中,椭圆
(
)的左右两个焦点分别是
、
,
在椭圆
上运动.
(1)若对有最大值为120°,求出
、
的关系式;
(2)若点是在椭圆上位于第一象限的点,过点
作直线
的垂线
,过
作直线
的垂线
,若直线
、
的交点
在椭圆
上,求点
的坐标;
(3)若设,在(2)成立的条件下,试求出
、
两点间距离的函数
,并求出
的值域.
【答案】(1);(2)
;(3)
,
的值域为
.
【解析】
(1)根据椭圆定义可知,再利用余弦定理及基本不等式可得
的关系式;
(2)设出点坐标,分别求出直线
与直线
的方程,结合
在椭圆上即可求得点
的坐标;
(3)把的坐标用含有
的代数式表示,由两点间的距离公式可得两点
间距离的函数
,再换元由单调性求出其值域.
(1) 根据椭圆的定义可知,,
,
因为
所以
,即
.
(2)设,
当时,直线
斜率不存在,易知
与
重合,不满足题意;
当时,则直线
的斜率
,直线
的斜率
,
直线的方程
,①
直线的斜率
,则直线
的斜率
,
直线的方程
,②
联立①②,解得:,则
,
由在椭圆上,
的横坐标互为相反数,纵坐标应相等,则
,
,
则,又
在第一象限,
的坐标为
;
(3)若,则
,
,
则,
.
令,则
,
,
在
上为增函数,
的值域为
,
即的值域为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某市政府为减轻汽车尾气对大气的污染,保卫蓝天,鼓励广大市民使用电动交通工具出行,决定为电动车(含电动自行车和电动汽车)免费提供电池检测服务.现从全市已挂牌照的电动车中随机抽取100辆委托专业机构免费为它们进行电池性能检测,电池性能分为需要更换、尚能使用、较好、良好四个等级,并分成电动自行车和电动汽车两个群体分别进行统计,样本分布如图.
(1)采用分层抽样的方法从电池性能较好的电动车中随机抽取9辆,再从这9辆中随机抽取2辆,求至少有一辆为电动汽车的概率;
(2)为进一步提高市民对电动车的使用热情,市政府准备为电动车车主一次性发放补助,标准如下:①电动自行车每辆补助300元;②电动汽车每辆补助500元;③对电池需要更换的电动车每辆额外补助400元.试求抽取的100辆电动车执行此方案的预算;并利用样本估计总体,试估计市政府执行此方案的预算.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数,其中
,
,
,
,且
的最小值为
,
的图象的相邻两条对称轴之间的距离为
,
的图象关于原点对称.
(1)求函数的解析式和单调递增区间;
(2)在中,角
所对的边分别为
,且
,求
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆:
的左、右焦点分别为
,过
任作一条与两条坐标轴都不垂直的直线,与椭圆
交于
两点,且
的周长为8,当直线
的斜率为
时,
与
轴垂直.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)在轴上是否存在定点
,总能使
平分
?说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图1,在平面四边形中,
,现将
沿四边形
的对角线
折起,使点
运动到点
,如图2,这时平面
平面
.
(1)求直线与平面
所成角的正切值;
(2)求二面角的正切值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,三棱锥中,
底面
为等边三角形,
分别是
的中点.
(1)证明:平面平面
;
(2)如何在上找一点
,使
平面
并说明理由;
(3)若,对于(2)中的点
,求三棱锥
的体积.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱锥中,已知底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=2,AB=2,AD=4,且E、F分别是PB、PC的中点。
(1)求三棱锥的体积;
(2)求直线EC与平面PCD所成角的大小(结果用反三角函数值表示).
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】给定数列,记该数列前
项
中的最大项为
,即
,该数列后
项
中的最小项为
,记
,
;
(1)对于数列:3,4,7,1,求出相应的,
,
;
(2)若是数列
的前
项和,且对任意
,有
,其中
为实数,
且
,
.
(ⅰ)设,证明:数列
是等比数列;
(ⅱ)若数列对应的
满足
对任意的正整数
恒成立,求实数
的取值范围.
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