Question

【题目】如图1，在平面四边形中，，现将沿四边形的对角线折起，使点运动到点，如图2，这时平面平面.

（1）求直线与平面所成角的正切值；

（2）求二面角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）2.

【解析】

解法一：（几何方法）

（1）过向做垂线，垂足为，连接，通过线面垂直的证明得到在平面内射影为，再根据长度关系计算出的值即为直线与平面所成角的正切值；

（2）利用中点，过点做，垂足为，连接，通过证明得到二面角的平面角为，再计算出的值即为二面角的正切值；

解法二：（向量方法）

（1）建立合适的空间直角坐标系，求解出平面的法向量并计算出线面角的正弦，由此可计算出线面角的正切值；

（2）计算出平面的法向量和平面的法向量，根据两个向量的余弦值计算出二面角的余弦值，即可求解出二面角的正切值.

解法一：（1），，，

，为正三角形，

过点向做垂线，垂足为，连接，

平面平面，为交线，

平面，

为在平面内射影，

就是直线与平面所成角，

在直角三角形中，，，，

，，

设为中点，连接，易知，

且为中点，

在直角三角形中，，，

，

又平面，且平面，

，

，

直线与平面所成角的正切值为.

（2）平面平面，为交线，且，

平面，

过点做，垂足为，连接，

，，

平面，

，

就是二面角的平面角，

在直角三角形中，，，

，

二面角的正切值为2.

解法二：

为正三角形，

设为中点，则，

在平面内，过点作垂直于的直线.

平面平面，

以为坐标原点，为轴，为轴，直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系.

由平面几何知识，易得，，，

（1）

又轴平面，

可取为平面的法向量.

设直线与平面所成的角为，

则

直线与平面所成的正切值为.

（2）设平面的法向量为.

，

，即，

令，得，

又平面的法向量为，

，

，

，

二面角的正切值为2.