【题目】如图,在矩形中,,,点是边上一点,且,点是的中点,将沿着折起,使点运动到点处,且满足.
(1)证明:平面;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)取的中点,连接,,由,进而,由,得. 进而平面,进而结论可得证(2)(方法一)过点作的平行线交于点,以点为坐标原点,所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系,求得平面平面的法向量,由二面角公式求解即可(方法二)取的中点,上的点,使,连接,得,,得二面角的平面角为,再求解即可
(1)证明:取的中点,连接,,由已知得,所以,又点是的中点,所以.
因为,点是线段的中点,
所以.
又因为,所以,从而平面,
所以,又,不平行,
所以平面.
(2)(方法一)由(1)知,过点作的平行线交于点,以点为坐标原点,所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系,则点,,,,
所以,,.
设平面的法向量为,
由,得,令,得.
同理,设平面的法向量为,
由,得,
令,得.
所以二面角的余弦值为.
(方法二)取的中点,上的点,使,连接,易知,.
由(1)得,所以平面,所以,
又,所以平面,
所以二面角的平面角为.
又计算得,,,
所以.
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【题目】如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD, PA=AD=2,E,F分别为PA,AB的中点,且DF⊥CE.
(1)求AB的长;
(2)求直线CF与平面DEF所成角的正弦值.
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【题目】已知函数,其中,,,,且的最小值为,的图象的相邻两条对称轴之间的距离为,的图象关于原点对称.
(1)求函数的解析式和单调递增区间;
(2)在中,角所对的边分别为,且,求.
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【题目】中国铁路总公司相关负责人表示,到2018年底,全国铁路营业里程达到13.1万公里,其中高铁营业里程2.9万公里,超过世界高铁总里程的三分之二,下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程(单位:万公里)的折线图,以下结论不正确的是( )
A.每相邻两年相比较,2014年到2015年铁路运营里程增加最显著
B.从2014年到2018年这5年,高铁运营里程与年价正相关
C.2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上
D.从2014年到2018年这5年,高铁运营里程数依次成等差数列
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【题目】已知椭圆: 的左、右焦点分别为,过任作一条与两条坐标轴都不垂直的直线,与椭圆交于两点,且的周长为8,当直线的斜率为时, 与轴垂直.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)在轴上是否存在定点,总能使平分?说明理由.
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【题目】如图1,在平面四边形中,,现将沿四边形的对角线折起,使点运动到点,如图2,这时平面平面.
(1)求直线与平面所成角的正切值;
(2)求二面角的正切值.
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【题目】如图,三棱锥中,底面为等边三角形,分别是的中点.
(1)证明:平面平面;
(2)如何在上找一点,使平面并说明理由;
(3)若,对于(2)中的点,求三棱锥的体积.
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【题目】国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验》国家标准.新标准规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于毫克/百毫升,小于毫克/百毫升为饮酒驾车,血液中的酒精含量大于或等于毫克/百毫升为醉酒驾车.经过反复试验,喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下图,该函数近似模型如下:.
又已知刚好过1小时时测得酒精含量值为毫克/百毫升.根据上述条件,解答以下问题:
(1)试计算喝1瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量达到最大值?最大值是多少?
(2)试计算喝1瓶啤酒后多少小时后才可以驾车?(时间以整分钟计算)
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