Question

【题目】若正项数列满足：，则称此数列为“比差等数列”．

（1）试写出一个“比差等数列”的前项；

（2）设数列是一个“比差等数列”，问是否存在最小值，如存在，求出最小值；如不存在，请说明理由；

（3）已知数列是一个“比差等数列”，为其前项的和，试证明：．

Answer 1

【答案】（1）、、（答案不唯一）；（2）存在，且的最小值为；（3）证明见解析.

【解析】

（1）根据“比差等数列”的定义得出，由，可得出，然后对取一个大于的值，可得出一个符合条件的“比差等数列”的前项；

（2）由题意得出，且，利用基本不等式可求出的最小值；

（3）由可推出，利用数学归纳法证明，由此得出，、、、，然后利用同向不等式的可加性可证明出成立.

（1）由于数列为“比差等数列”，则，可得.

由于数列每项都是正数，则，可得出.

若，则，.

因此，“比差等数列”的前项可以是、、（答案不唯一）；

（2）由（1）可知，，则，

，

当且仅当时，等号成立，因此，有最小值；

（3）由题意可得.

由于双勾函数在上是增函数，

，，且，则，

同理可得.

猜想，当时，.

假设当时，猜想成立，即；

那么当时，由于函数在上是增函数，

且，

所以，.

由归纳原理可知，当时，.

于是有，、、、，

将上述不等式全部相加得.

因此，.