精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知函数,其中.
(1)当时,求函数处的切线方程;
(2)若函数在区间(1,2)上不是单调函数,试求的取值范围;
(3)已知,如果存在,使得函数处取得最小值,试求的最大值.
(1) (2) (3)

试题分析:(1) 利用导数求切线方程,关键在于理解切点的三个含义,一是在切点处的导数值为切线的斜率,二是切点在曲线上,即切点坐标满足曲线方程,三是切点在直线上,即切点坐标满足直线方程,有时这一条件用直线两点间斜率公式表示.因为所以,再根据点斜式写出切线方程. (2)利用导数研究函数单调性,往往转化为研究导函数为零时方程根的情况,本题函数在区间(1,2)上不是单调函数,就转化为在区间(1,2)上有不相等的根,可由实根分布列充要条件,也可利用变量分离结合图象求函数对应区域范围,(3)已知函数最值求参数取值范围,可从恒成立角度出发,实现等价转化,也可分类讨论求最值列等式.本题采取恒成立较好.转化为二次函数恒成立可从四个方面研究:一是开口方向,二是对称轴,三是判别式,四是区间端点函数值的正负.
试题解析:(1)解:当时,,则,故 2分
又切点为,故所求切线方程为,即  4分
(2)由题意知,在区间(1,2)上有不重复的零点,
,得,因为,所以  7分令,则,故在区间(1,2)上是增函数,所以其值域为,从而的取值范围是    9分
(3),
由题意知恒成立,即恒成立,即  ①对恒成立    11分
时,①式显然成立;
时,①式可化为    ②,
,则其图象是开口向下的抛物线,所以      13分
,其等价于   ③,
因为③在时有解,所以,解得,
从而的最大值为        16分
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

设直线是曲线的一条切线,.
(1)求切点坐标及的值;
(2)当时,存在,求实数的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

经调查统计,某种型号的汽车在匀速行驶中,每小时的耗油量(升)关于行驶速度(千米/时)的函数可表示为.已知甲、乙两地相距千米,在匀速行驶速度不超过千米/时的条件下,该种型号的汽车从甲地 到乙地的耗油量记为(升).
(Ⅰ)求函数的解析式;
(Ⅱ)讨论函数的单调性,当为多少时,耗油量为最少?最少为多少升?

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

求曲线yx3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

曲线y=在点(-1,-1)处的切线方程为________.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

函数yxex在点(1,e)处的切线方程为(  ).
A.y=exB.yx-1+e
C.y=-2ex+3eD.y=2ex-e

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

函数的图象上一点(0,1)处的切线的斜率为(    )
A.1B.2C.3D.0

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

曲线在点处的切线方程为____ __.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

经过点且与曲线相切的直线的方程是____________.

查看答案和解析>>

同步练习册答案