试题分析:(1) 利用导数求切线方程,关键在于理解切点的三个含义,一是在切点处的导数值为切线的斜率,二是切点在曲线上,即切点坐标满足曲线方程,三是切点在直线上,即切点坐标满足直线方程,有时这一条件用直线两点间斜率公式表示.因为
所以
,再根据点斜式写出切线方程. (2)利用导数研究函数单调性,往往转化为研究导函数为零时方程根的情况,本题函数
在区间(1,2)上不是单调函数,就转化为
在区间(1,2)上有不相等的根,可由实根分布列充要条件,也可利用变量分离结合图象求函数对应区域范围,(3)已知函数最值求参数取值范围,可从恒成立角度出发,实现等价转化,也可分类讨论求最值列等式.本题采取
对
恒成立较好.转化为二次函数恒成立可从四个方面研究:一是开口方向,二是对称轴,三是判别式,四是区间端点函数值的正负.
试题解析:(1)解:当
时,
,则
,故
2分
又切点为
,故所求切线方程为
,即
4分
(2)由题意知,
在区间(1,2)上有不重复的零点,
由
,得
,因为
,所以
7分令
,则
,故
在区间(1,2)上是增函数,所以其值域为
,从而
的取值范围是
9分
(3)
,
由题意知
对
恒成立,即
对
恒成立,即
①对
恒成立 11分
当
时,①式显然成立;
当
时,①式可化为
②,
令
,则其图象是开口向下的抛物线,所以
13分
即
,其等价于
③,
因为③在
时有解,所以
,解得
,
从而
的最大值为
16分