Question

5．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c且b=2，c=3，cosC=$\frac{1}{3}$
（1）求边a的长度；
（2）求△ABC的面积；
（3）求cos（B-C）的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用余弦定理求得a的值．
（2）先求出sinC的值，再根据，∴△ABC的面积为$\frac{1}{2}$ab•sinC，计算求得结果．
（3）由条件利用正弦定理求得sinB的值，可得cosB的值，再根据两角差的余弦公式求得cos（B-C）的值．

解答 解：（1）△ABC中，∵b=2，c=3，cosC=$\frac{1}{3}$，利用余弦定理可得c²=9=a²+4-4a•$\frac{1}{3}$，
求得a=3，或a=-$\frac{5}{3}$ （舍去）．
（2）∵sinC=$\sqrt{{1-cos}^{2}C}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，∴△ABC的面积为$\frac{1}{2}$ab•sinC=$\frac{1}{2}$×3×2×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=2$\sqrt{2}$．
（3）利用正弦定理可得 $\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，即 $\frac{2}{sinB}$=$\frac{3}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$，∴sinB=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
∴cosB=$\sqrt{{1-sin}^{2}B}$=$\frac{7}{9}$，∴cos（B-C）=cosBcosC+sinBsinC=$\frac{7}{9}$×$\frac{1}{3}$+$\frac{4\sqrt{2}}{9}$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{23}{27}$．

点评 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，两角差的余弦公式，属于基础题．