Question

7．已知函数f（x）=$\frac{2}{x-1}$+x．
（1）求函数值不小于-2时，x的取值范围；
（2）求当x大于1时，函数f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）由分式不等式的解法：符号法，结合二次不等式的解法，即可得到；
（2）将x=x-1+1代入，结合基本不等式，即可得到最小值．

解答 解：（1）由$\frac{2}{x-1}$+x≥-2，
即为$\frac{x（x+1）}{x-1}$≥0，
即有$\left\{\begin{array}{l}{x（x+1）≥0}\\{x-1＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x（x+1）≤0}\\{x-1＜0}\end{array}\right.$，
即为$\left\{\begin{array}{l}{x≥0或x≤-1}\\{x＞1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤0}\\{x＜1}\end{array}\right.$，
即有x＞1或-1≤x≤0；
（2）当x＞1时，f（x）=$\frac{2}{x-1}$+x
=（x-1）+$\frac{2}{x-1}$+1≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{2}{x-1}}$+1=1+2$\sqrt{2}$．
当且仅当x=1+$\sqrt{2}$时，取得最小值1+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查分式不等式的解法，考查基本不等式的运用，注意变形以及满足的条件：一正二定三等．