Question

19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A为锐角且满足cos（$\frac{π}{4}$+A）=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=3．
（1）求△ABC的面积；
（2）若b+c=6，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由A=（A+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$，运用两角差的余弦公式，和同角的平方关系，计算可得cosA，sinA，进而得到三角形的面积；
（2）运用余弦定理，a²=b²+c²-2bccosA，计算即可得到．

解答 解：（1）由A为锐角，$\frac{π}{4}$+A∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），
则sin（A+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{1-（-\frac{\sqrt{2}}{10}）^{2}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
则cosA=cos（A+$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（A+$\frac{π}{4}$）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（A+$\frac{π}{4}$）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（-$\frac{\sqrt{2}}{10}$）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{7\sqrt{2}}{10}$=$\frac{3}{5}$，
sinA=$\sqrt{1-\frac{9}{25}}$=$\frac{4}{5}$，
$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=3．可得cbcosA=3，
即为bc=5，
△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{4}{5}$=2；
（2）b+c=6，由（1）可得bc=5，
由余弦定理，a²=b²+c²-2bccosA
=（b+c）²-2bc-2bc•$\frac{3}{5}$
=36-10-6=20，
则a=2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查三角函数的恒等变换，考查余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．