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精英家教网如图,四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD=2,PO⊥AD,O为BC的中点.
(Ⅰ)求证:PO⊥底面ABCD;
(Ⅱ)求二面角P-AD-B的大小.
(Ⅲ)求直线PB与平面PAD所成的线面角的大小.
分析:法一:(Ⅰ)要证PO⊥底面ABCD,只需证明直线PO垂直底面ABCD内的两条相交直线BC、AD即可;
(Ⅱ)过点O作OE⊥AD于点E,连接PE,说明∴∠PEO为二面角P-AD-B的平面角,
解三角形求二面角P-AD-B的大小.
(Ⅲ)取PA、PB的中点M、N,连接BM、CN、DM、MN,
说明直线PB与平面PAD所成的线面角为∠BPM,然后求解即可得到
直线PB与平面PAD所成的线面角的大小.
法二:以BC中点O为原点,以BC所在直线为x轴,过点O与AB平行的直线为y轴,
建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,
(Ⅱ)求出平面PAD的法向量,平面ABCD的法向量为
OP
=(0,0,
3
)

然后利用向量的数量积求直线PB与平面PAD所成的线面角的大小.
(Ⅲ)求出相关向量,通过cos?
PB
n1
?=
PB
n1
|
PB
|•|
n1
|
求得
直线PB与平面PAD所成的线面角的大小.
解答:精英家教网解法一:(Ⅰ)证明:∵PB=PC=BC,O为BC中点
∴PO⊥BC
又∵PO⊥AD
而ABCD是直角梯形,从而BC与AD相交(没有说明扣1分)
∴PO⊥底面ABCD
(Ⅱ)∵PO⊥底面ABCD,过点O作OE⊥AD于点E,连接PE,由三垂线定理知PE⊥AD
∴∠PEO为二面角P-AD-B的平面角
∵AB=BC=PB=PC=2CD=2,O为BC中点
AO=AD=
5
OD=
2
PO=
3

由等面积法知S△AOD=
1
2
•AD•OE=
1
2
•OD•
5-
1
2
      ?OE=
3
5
5

tan∠PEO=
PO
OE
=
15
3

∴∠PEO=arctan
15
3
,即二面角P-AD-B的大小为arctan
15
3
(或arcsin
10
4
arccos
6
4


(Ⅲ)取PA、PB的中点M、N,连接BM、CN、DM、MN,
∵PC=BC,
∴CN⊥PB①
∵AB⊥BC,且PO⊥AB
∴AB⊥平面PBC
∵CN?平面PBC
∴CN⊥AB②
由①、②知CN⊥平面PAB
由MN∥AB∥CD,MN=AB=CD,得四边形MNCD为平行四边形
∴CN∥DM
∴DM⊥平面PAB
∵BM?平面PAD
∴DM⊥BM
∵PB=AB=2
∴BM⊥PA
∴BM⊥平面PAD,直线PB与平面PAD所成的线面角为∠BPM
在等腰直角三角形PAB中,易知∠BPM=45°

精英家教网解法二:(Ⅰ)同解法一;
如图,以BC中点O为原点,以BC所在直线为x轴,
过点O与AB平行的直线为y轴,
建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.

(Ⅱ)∵BC=PB=PC=2且PO⊥底面ABCD
∴平面ABCD的法向量为
OP
=(0,0,
3
)

∵A(1,2,0),D(-1,1,0),P(0,0,
3
)

DA
=(2,1,0)
PA
=(1,2,-
3
)

设平面PAD的法向量为
n1
=(x1y1z1)

n1
DA
n1
PA
得到
2x1+y1=0
x1+2y1-
3
z1=0

令x1=1,则y1=-2,z3=-
3
,即
n1
=(1,-2,-
3
)

∴cos<
n1
OP
>=
-3
3
•2
2
=-
6
4

∴二面角P-AD-B的大小为arccos
6
4
(或arcsin
10
4
arctan
15
3


(Ⅲ)∵B(1,0,0)
PB
=(1,0,-
3
)

由(Ⅱ)知平面PAD的法向量为
n1
=(1,-2,-
3
)

cos?
PB
n1
?=
PB
n1
|
PB
|•|
n1
|
=
4
2•2
2
=
2
2
,即?
PB
n1
?=450

所以直线PB与平面PAD所成的线面角为90°-45°=45°
点评:本题考查直线与平面垂直的判定,二面角的求法,直线与平面所成的角,考查空间想象能力,逻辑思维能力,转化思想,是中档题.
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2
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AE
AP
的值,若不存在,请说明理由.

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3
,点F是PB中点.
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(Ⅱ)若E是BC边上任一点,证明:PE⊥AF;
(Ⅲ)若BE=
3
3
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如图,四棱锥P-ABCD,PA⊥平面ABCD,ABCD是直角梯形,DA⊥AB,CB⊥AB,PA=2AD=BC=2,AB=2
2
,设PC与AD的夹角为θ.
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