Question

如图，已知直角梯形所在的平面垂直于平面，，，．

（Ⅰ）点是直线中点，证明平面；
（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

试题分析：（Ⅰ）点是直线中点，证明平面；证明线面平行，主要是证明线线平行，证明线线平行的方法有两种，一种利用三角形的中位线，另一种是利用平行四边形对边平行，此题不符合利用三角形的中位线，可考虑构造平行四边形来证，取的中点连结，证明即可，故只需证明且即可，由作法可知，，为此取的中点，连结，证明即可；（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值，处理方法有两种，一传统方法，二向量法，传统方法首先确定二面角，过作的平行线，过作的垂线交于，连结，注意到棱垂直平面，∴是所求二面角的平面角，从而求得平面与平面所成的锐二面角的余弦值，向量法，建立空间坐标系，以点为原点，直线为轴，直线为轴，建立空间直角坐标系，主要找两个平面的法向量，平面的一个法向量为．只需设平面的法向量为，由题意求出法向量为即可．
试题解析：（Ⅰ）证明：
取的中点连结，则
，，取的中点，连结，
∵且，∴△是正三角形，∴．

∴四边形为矩形，∴．      4分
又∵，
∴且，四边形是平行四边形．
∴，而平面，平面，∴平面．6分
（Ⅱ）（法1）过作的平行线，过作的垂线交于，连结，
∵，∴，
是平面与平面所成二面角的棱．    8分
∵平面平面，，∴平面，
又∵平面，∴平面，∴，
∴是所求二面角的平面角．      10分
设，则，，
∴，                       
∴．    12分
（法2）∵，平面平面，
∴以点为原点，直线为轴，直线为轴，建立空间直角坐标系，则轴在平面内（如图）．设，由已知，得，，．

∴，，       8分
设平面的法向量为，
则且，
∴∴
解之得
取，得平面的一个法向量为.            10分
又∵平面的一个法向量为．   10分
．   12分