Question

【题目】对于给定的正整数k,若数列{an}满足

=2kan对任意正整数n(n> k) 总成立，则称数列{an} 是“P(k)数列”.

(1)证明：等差数列{an}是“P(3)数列”；

若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】试题分析：（1）利用等差数列性质得，即得 ，再根据定义即可判断；（2）先根据定义得， ，再将条件集中消元： ， ，即得，最后验证起始项也满足即可．

试题解析：证明:（1）因为是等差数列，设其公差为，则，

从而，当时，

，

所以，

因此等差数列是“数列”.

（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此，

当时， ，①

当时， .②

由①知， ，③

，④

将③④代入②，得，其中，

所以是等差数列，设其公差为.

在①中，取，则，所以，

在①中，取，则，所以，

所以数列是等差数列.

点睛:证明为等差数列的方法：①用定义证明： 为常数）；②用等差中项证明： ；③通项法： 为关于的一次函数；④前项和法： ．