Question

如图已知点A（1，-1）和单位圆上半部分上的动点B，则|

OA

+

OB

|的最大值为（　　）

• A．

  5

• B．

  2

  -1
• C．

  2

• D．1

Answer 1

分析：由题意利用单位圆的性质，设B（cosα，sinα）（0≤α≤π），从而得到

OA

+

OB

=（1+cosα，-1+sinα）．再根据向量模的公式、三角恒等变换和正弦函数的图象与性质加以计算，可得当α=0时|

OA

+

OB

|2的最大值为5，由此可得|

OA

+

OB

|的最大值．

解答：解：∵动点B在单位圆的上半部分，
∴设B（cosα，sinα），得

OB

=（cosα，sinα），其中0≤α≤π
∵

OA

=（1，-1），∴

OA

+

OB

=（1+cosα，-1+sinα），
可得|

OA

+

OB

|2=（1+cosα）²+（-1+sinα）²
=（1+2cosα+cos²α）+（1-2sinα+sin²α）=3+2（cosα-sinα），
∵cosα-sinα=

2

sin（

π

4

-α），

π

4

-α∈[-

3π

4

，

π

4

]，
∴当

π

4

-α=

π

4

即α=0时，cosα-sinα有最大值为1．
由此可得|

OA

+

OB

|2=3+2（cosα-sinα）的最大值为3+2=5．
∴|

OA

+

OB

|的最大值为

5

故选：A

点评：本题给出单位圆上的动点B与定点A，求|

OA

+

OB

|的最大值．着重考查了向量的坐标运算、向量模的公式和三角函数的最值求法等知识，属于中档题．