Question

20．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+a²．
（I）若f（x）在x=1处有极值10，求a，b的值；
（II）若当a=-1时，f（x）＜0在x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，得到关于导函数的方程组，求出a，b的值即可；
（Ⅱ）分离参数，问题转化为b＜$\frac{{-{x^3}+{x^2}-1}}{x}$在x∈[1，2]恒成立，令g（x）=$\frac{{-{x^3}+{x^2}-1}}{x}$，根据函数的单调性求出b的范围即可．

解答 解：（I）f'（x）=3x²+2ax+b，由题设有f'（1）=0，f（1）=10，
即$\left\{\begin{array}{l}3+2a+b=0\\ 1+a+b+{a^2}=10\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}a=-3\\ b=3\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=-11\end{array}\right.$，
经验证，若$\left\{\begin{array}{l}a=-3\\ b=3\end{array}\right.$，则f'（x）=3x²-6x+3=3（x-1）²，
当x＞1或x＜1时，均有f'（x）＞0，可知
此时x=1不是f（x）的极值点，
故$\left\{\begin{array}{l}a=-3\\ b=3\end{array}\right.$舍去$\left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=-11\end{array}\right.$符合题意，
故$\left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=-11\end{array}\right.$．
（II）当a=-1时，f（x）=x³-x²+bx+l，
若f（x）＜0在x∈[1，2]恒成立，
即x³-x²+bx+1＜0在x∈[1，2]恒成立，
即b＜$\frac{{-{x^3}+{x^2}-1}}{x}$在x∈[1，2]恒成立，
令g（x）=$\frac{{-{x^3}+{x^2}-1}}{x}$，
则g'（x）=$\frac{{（-3{x^2}+2x）x-（-{x^3}+{x^2}-1）}}{x^2}$=$\frac{{-2{x^3}+{x^2}+1}}{x^2}$，
由-2x³+x²+1=1-x³+x²（1-x） 可知x∈[1，2]时g'（x）＜0，
即g（x）=$\frac{{-{x^3}+{x^2}-1}}{x}$在x∈[1，2]单调递减，
g（x）_max=g（2）=-$\frac{5}{2}$，
∴b＜-$\frac{5}{2}$时，f（x）＜0在x∈[1，2]恒成立．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．