Question

11．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=（n+1）a_n+（n+1）!．
（Ⅰ）求证：数列$\left\{{\frac{a_n}{n!}}\right\}$是等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据等差数列的定义进行证明即可；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）求得的{a_n}的通项公式和裂项相消求和解答．

解答 解：（Ⅰ）依题意，${a_{n+1}}=（{n+1}）{a_n}+（{n+1}）!⇒\frac{{{a_{n+1}}}}{{（{n+1}）!}}=\frac{a_n}{n!}+1$，
所以$\left\{{\frac{a_n}{n!}}\right\}$是以$\frac{a_1}{1}=1$为首项，1为公差的等差数列，
所以$\frac{a_n}{n!}=1+（{n-1}）×1=n$，
即a_n=n•n!．
（Ⅱ）因为a_n=n•n!=（n+1）!-n!，
所以S_n=（2!-1!）+（3!-2!）+…+[（n+1）!-n!]，
所以S_n=（n+1）!-1．

点评 本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用裂项相消求和是解决（Ⅱ）题的关键．