Question

6．已知A，B分别是椭圆 $C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的长轴与短轴的一个端点，F₁，F₂分别是椭圆C的左、右焦点，D椭圆上的一点，△DF₁，F₂的周长为$6，|{AB}|=\sqrt{7}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P是圆x²+y²=7上任一点，过点作P椭圆C的切线，切点分别为M，N，求证：PM⊥PN．

Answer 1

分析 （1）由2a+2c=6，$|{AB}|=\sqrt{7}$，b²+c²=a²，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；
（2）分类讨论，当切线PM斜率不存在或者为零时，根据对称性即可求得PM⊥PN；当斜率不为零时，分别求得直线PM，PN的方程，由△=0即可求得k₁，k₂是方程$（{x_0^2-4}）{k^2}-2{x_0}{y_0}k+y_0^2-3=0$的两个根，则${k_1}{k_2}=\frac{y_0^2-3}{x_0^2-4}=\frac{7-x_0^2-3}{x_0^2-4}=-1$，则PM⊥PN．

解答 解：（1）由△DF₁F₂的周长为6，得2a+2c=6，由$|{AB}|=\sqrt{7}$，得a²+b²=7，
又b²+c²=a²，∴$a=2，b=\sqrt{3}，c=1$．
故椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）证明：①当切线PM的斜率不存在或为零时，此时取$P（{2，\sqrt{3}}）$，
显然直线$PN：y=\sqrt{3}$与直线PM：x=2恰是椭圆的两条切线．
由圆及椭圆的对称性，可知PM⊥PN．
②点切线PM，PN斜率存在且不为零时，设切线PM的方程为y=k₁x+m，
PN的方程为y=k₂x+t，P（x₀，y₀）（x₀≠±2），
由$\left\{\begin{array}{l}y={k_1}x+m\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，消y，得$（{4k_1^2+3}）{x^2}+8{k_1}mx+4（{{m^2}-3}）=0$，
∵PM与椭圆C相切，∴$△=64k_1^2{m^2}-16（{4k_1^2+3}）（{{m^2}-3}）=0$，
∴${m^2}=4k_1^2+3$．∵y₀=k₁x₀+m，∴m=y₀-k₁x₀，
∴${（{{y_0}-{k_1}{x_0}}）^2}=4k_1^2+3$．即$（{x_0^2-4}）k_1^2-2{x_0}{y_0}{k_1}+y_0^2-3=0$；
同理：切线PN：y=k₂x+t中，$（{x_0^2-4}）k_2^2-2{x_0}{y_0}{k_2}+y_0^2-3=0$，
∴k₁，k₂是方程$（{x_0^2-4}）{k^2}-2{x_0}{y_0}k+y_0^2-3=0$的两个根，
又∵P在圆上，∴$x_0^2+y_0^2=7$，∴$y_0^2=7-x_0^2$，
∴${k_1}{k_2}=\frac{y_0^2-3}{x_0^2-4}=\frac{7-x_0^2-3}{x_0^2-4}=-1$，
∴PM⊥PN．
综上所述：PM⊥PN．

点评 本题考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于中档题．