Question

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a²+c²-b²=ac，b=$\sqrt{3}$，则2a+c的取值范围是（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{7}$]．

Answer 1

分析 利用a²+c²-b²=ac，代入到余弦定理中求得cosB的值，进而求得B，再利用正弦定理求得a、c，利用两角和差的正弦公式化简2a+c的解析式，结合正弦函数的定义域和值域及三角形的性质求得2a+c 的范围．

解答 解：△ABC中，∵a²+c²-b²=ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∴B=$\frac{π}{3}$，A+C=$\frac{2π}{3}$．
∵b=$\sqrt{3}$，
∴由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$，
∴2a+c=4sinA+2sinC=4sinA+2sin（$\frac{2π}{3}$-A）=5sinA+$\sqrt{3}$cosA=2$\sqrt{7}$sin（A+φ），其中，tanφ=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，
∵0＜A＜$\frac{2π}{3}$，
∴2a+c$≤2\sqrt{7}$，
又∵2a+c$＞\sqrt{3}$，
∴2a+c的取值范围是：（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{7}$]．
故答案为：（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{7}$]．

点评 本题主要考查了余弦定理的应用．注意余弦定理的变形式的应用，考查计算能力，属于中档题．