Question

8．（Ⅰ）已知函数f（x）=|2x-3|-2|x|，若关于x不等式f（x）≤|a+2|+2a恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）已知正数x，y，z满足2x+y+z=1，求证$\frac{1}{x+2y+z}+\frac{3}{z+3x}$$≥2+\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （I）利用绝对值不等式的性质得出f（x）的最大值，得出关于a的不等式，再讨论a+2的符合解不等式即可；
（II）利用柯西不等式即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=|2x-3|-|2x|≤|（2x-3）-2x|=3，
∴3≤|a+2|+2a，
当a＜-2时，不等式为3≤-a-2+2a，解得a≥5（舍），
当a≥-2时，不等式为3≤a+2+2a，解得a≥$\frac{1}{3}$，
综上，a的取值范围是[$\frac{1}{3}$，+∞）．   
（Ⅱ）∵2x+y+z=1，∴（x+2y+z）+（z+3x）=4x+2y+2z=2，
∴$\frac{1}{x+2y+z}+\frac{3}{z+3x}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{x+2y+z}+\frac{3}{z+3x}$）[（x+2y+z）+（z+3x）]
≥$\frac{1}{2}$×（1+$\sqrt{3}$）²=2+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了绝对值不等式的性质与解法，柯西不等式的应用，属于中档题．