Question

18．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₄=10，S₄=28，数列$\left\{{\frac{1}{{{S_n}+2}}}\right\}$的前n项和为T_n，则T₂₀₁₇=$\frac{2017}{4038}$．

Answer 1

分析 利用已知条件求出等差数列的前n项和，化简所求的通项公式，然后求和即可．

解答 解：等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₄=10，S₄=28，可得a₁+a₄=14，解得a₁=4，10=4+3d，解得d=2，
S_n=4n+$\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²+3n，
$\frac{1}{{S}_{n}+2}$=$\frac{1}{{n}^{2}+3n+2}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
T_n=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$，
则T₂₀₁₇=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2019}$=$\frac{2017}{4038}$．
故答案为：$\frac{2017}{4038}$．

点评 本题考查数列求和，等差数列通项公式以及性质的应用，考查计算能力．