Question

6．已知抛物线E：y²=4x的准线为l，焦点为F，O为坐标原点．
（1）求过点O，F，且与l相切的圆的方程；
（2）过F的直线交抛物线E于A，B两点，A关于x轴的对称点为A′，求证：直线A′B过定点．

Answer 1

分析 （1）由题意求得焦点及准线方程，即可求得圆心，利用点到直线的距离公式，即可求得半径，即可求得圆的方程；
（2）方法一：设直线AB方程为y=k（x-1），代入椭圆方程，利用韦达定理，求得直线BA′的方程为，当y=0，求得x=-1，则直线BA′过定点（-1，0）；
方法二：设直线AB方程为y=k（x-1），代入椭圆方程，利用韦达定理求得k_A′M-k_BM=0，则k_A′M=k_BM=0，A′、B、M三点共线，则直线BA′过定点（-1，0）；
方法三：设直线AB的方程：x=my+1，求得直线BA′的方程为，利用韦达定理可得y=$\frac{4}{{{y_2}-{y_1}}}（{x+1}）$，则直线BA′过定点（-1，0）．

解答 解：（1）抛物线E：y²=4x的准线l的方程为：x=-1，焦点坐标为F（1，0），
设所求圆的圆心C（a，b），半径为r，∵圆C过O，F，
∴$a=\frac{1}{2}$，∵圆C与直线l：x=-1相切，
∴$r=\frac{1}{2}-（{-1}）=\frac{3}{2}$．
由$r=|{CO}|=\sqrt{{{（{\frac{1}{2}}）}^2}+{b^2}}=\frac{3}{2}$，得$b=±\sqrt{2}$．
∴过O，F，且与直线l相切的圆的方程为${（{x-\frac{1}{2}}）^2}+{（{y±\sqrt{2}}）^2}=\frac{9}{4}$；
（2）证明：解法一：依题意知直线AB的斜率存在，设直线AB方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁≠x₂），A′（x₁，-y₁），
联立$\left\{\begin{array}{l}y=k（{x-1}）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，消去y得k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{2{k^2}+4}}{k^2}$，x₁•x₂=1．
∵直线BA′的方程为$y-{y_2}=\frac{{{y_2}+{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}（{x-{x_2}}）$，
∴令y=0，得$x=\frac{{{x_2}{y_1}+{x_1}{y_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}=\frac{{{x_2}k（{{x_2}-1}）+{x_1}k（{{x_2}-1}）}}{{k（{{x_1}-1}）+k（{{x_2}-1}）}}=\frac{{2{x_1}{x_2}-（{{x_1}+{x_2}}）}}{{-2+（{{x_1}+{x_2}}）}}=-1$．
直线BA′过定点（-1，0），
解法二：直线BA′过定点M（-1，0）．
证明：依题意知直线AB的斜率存在，设直线AB方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁≠x₂），A′（x₁，-y₁），
联立$\left\{\begin{array}{l}y=k（{x-1}）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，消去y得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{2{k^2}+4}}{k^2}$，x₁•x₂=1．
∵${k_{A′M}}-{k_{BM}}=\frac{{-{y_1}}}{{{x_1}+1}}-\frac{y_2}{{{x_2}+1}}=-\frac{{{x_2}{y_1}+{x_1}{y_2}+{y_1}+{y_2}}}{{（{{x_1}+1}）（{{x_2}+1}）}}$，
∵x₂y₁+x₁y₂+y₁+y₂=k（x₁-1）x₂+k（x₂-1）x₁+k（x₁+x₂-2）=2kx₁x₂-2k=2k•1-2k=0．
∴k_A′M-k_BM=0，即k_A′M=k_BM=0，A′、B、M三点共线，
∴直线BA′过定点（-1，0）．
解法三：设直线AB的方程：x=my+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A′（x₁，-y₁）．
由$\left\{\begin{array}{l}y=k（{x-1}）\\{y^2}=4x\end{array}\right.$得，y²-4my-4=0．
∴y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4．
∵${k_{BA′}}=\frac{{{y_2}+{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}=\frac{{{y_2}+{y_1}}}{{\frac{{{y_2}^2}}{4}-\frac{{{y_1}^2}}{4}}}=\frac{4}{{{y_2}-{y_1}}}$，
∴直线BA′的方程为$y-{y_2}=\frac{{{y_2}+{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}（{x-{x_2}}）$．
∴$y=\frac{4}{{{y_2}-{y_1}}}（{x-{x_2}}）+{y_2}=\frac{4}{{{y_2}-{y_1}}}x+{y_2}-\frac{{4{x_2}}}{{{y_2}-{y_1}}}=\frac{4}{{{y_2}-{y_1}}}x+\frac{{{y_2}^2-{y_1}{y_2}-4{x_2}}}{{{y_2}-{y_1}}}=\frac{4}{{{y_2}-{y_1}}}x+\frac{4}{{{y_2}-{y_1}}}$=$\frac{4}{{{y_2}-{y_1}}}（{x+1}）$．
∴直线BA′过定点（-1，0）．

点评 本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．