Question

1．如图，在三棱锥P-ABC中，平面ABC⊥平面APC，AB=BC=AP=PC=$\sqrt{2}$，∠ABC=∠APC=90°．
（Ⅰ）求证：AC⊥PB；
（Ⅱ）若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C的余弦值为$\frac{3\sqrt{11}}{11}$，求BM的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AC中点O，连结OB，OP，可得OB⊥AC，OP⊥AC，即可证得AC⊥面POB，即AC⊥PB．
 （Ⅱ）以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图（2）所示空间直角坐标系．因为$AB=BC=AP=PC=\sqrt{2}$，∠ABC=∠APC=90°，所以OB=OC=OP=1，从而O（0，0，0），A（0，-1，0），B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，1），利用向量法求解．

解答 解：（Ⅰ）如图（1）取AC中点O，连结OB，OP
因为AB=BC，所以OB⊥AC，
因为AP=PC，所以OP⊥AC，∵OB∩OP=O，
∴AC⊥面POB∵PB?面POB∴AC⊥PB…（4分）


（Ⅱ）∵平面ABC⊥平面APC，平面ABC∩平面APC=AC，
由（Ⅰ）可知OP⊥AC，∴OP⊥平面ABC，∵OB?平面ABC，∴OB⊥OP
以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图（2）所示空间直角坐标系．
因为$AB=BC=AP=PC=\sqrt{2}$，∠ABC=∠APC=90°，所以OB=OC=OP=1，
从而O（0，0，0），A（0，-1，0），B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，1），…（6分）
由题意可得：$\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{OB}=（1，0，0）$是平面PAC的一个法向量，
设$\overrightarrow{BM}=λ\overrightarrow{BC}（0≤λ＜1）$，M（m，n，0）
由$\overrightarrow{BM}=（m-1，n，0）$，$\overrightarrow{BC}=（-1，1，0）$，得：m=1-λ，n=λ，∴M（1-λ，λ，0）…（8分）
设平面PAM的法向量为$\overrightarrow{n_2}=（x，y，z）$，
则$\overrightarrow{AP}=（0，1，1）$，$\overrightarrow{AM}=（1-λ，λ+1，0）$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{n_2}=0}\\{\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{n_2}=0}\end{array}}\right.$⇒$\left\{{\begin{array}{l}{y+z=0}\\{（1-λ）x+（λ+1）y=0}\end{array}}\right.$，
令z=1，则y=-1，$x=\frac{1+λ}{1-λ}$，∴$\overrightarrow{n_2}=（\frac{1+λ}{1-λ}，-1，1）$…（10分）
设二面角M-PA-C的平面角为θ，
则$cosθ=cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|\overrightarrow{n_1}|•|\overrightarrow{n_2}|}}=\frac{{\frac{1+λ}{1-λ}}}{{\sqrt{{{（\frac{1+λ}{1-λ}）}^2}+2}}}=\frac{{3\sqrt{11}}}{11}$，
∴$λ=\frac{1}{2}$∴$\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$，∴$BM=\frac{1}{2}BC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（12分）

点评 本题考查了空间线线垂直，向量法处理二面角的运算，属于中档题．