Question

15．在平面直角坐标系xoy中，一动圆经过点（$\frac{1}{2}$，0）且与直线x=-$\frac{1}{2}$相切，设该动圆圆心的轨迹方程为曲线E．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）设P是曲线E上的动点，点P的横坐标为x₀，点B，C在y轴上，△PBC的内切圆的方程为（x-1）²+y²=1，将|BC|表示成x₀的函数，并求△PBC面积的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据抛物线的定义，即可求得曲线E的方程；
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），B（0，b），C（0，c）不妨设b＞c，直线PB的方程为（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0，由直线和圆相切的条件：d=r，化简整理，结合韦达定理，以及三角形的面积公式，运用基本不等式即可求得最小值．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知圆心到（$\frac{1}{2}$，0）的距离等于直线x=-$\frac{1}{2}$的距离，
由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以（$\frac{1}{2}$，0）为焦点，以x=-$\frac{1}{2}$为准线的抛物线，
设抛物线方程y²=2px，则$\frac{p}{2}$=$\frac{1}{2}$，则p=1，
∴曲线E的方程为y²=2x；．
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），B（0，b），C（0，c）
直线PB的方程为：（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0，
又圆心（1，0）到PB的距离为1，则$\frac{丨{y}_{0}-b+{x}_{0}b丨}{\sqrt{（{y}_{0}-b）^{2}+{x}_{0}^{2}}}$=1．
整理得：（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，
同理可得：（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0，
∴b，c是方程（x₀-2）x²+2y₀x-x₀=0，的两根，
∴b+c=-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，bc=-$\frac{{x}_{0}}{{x}_{0}-2}$，
依题意bc＜0，即x₀＞2，
则（b-c）²=（b+c）²-4bc=$\frac{4{x}_{0}^{2}+4{y}_{0}^{2}-8{x}_{0}}{（{x}_{0}-2）^{2}}$．
由y₀²=2x₀，则丨BC丨=丨b-c丨=$\frac{2{x}_{0}}{{x}_{0}-2}$，（x₀＞2）．
∴S=$\frac{1}{2}$丨BC丨x₀=（x₀-2）+$\frac{4}{{x}_{0}-2}$+4≥8．
当（x₀-2）=$\frac{4}{{x}_{0}-2}$，即x₀=4时上式取得等号，
∴△PBC面积的最小值为8．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法和方程的运用，同时考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，直线和圆相切的条件：d=r，以及基本不等式的运用，属于中档题．