Question

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA=AB=$\frac{1}{2}$AD=2，PB=2$\sqrt{2}$，PA⊥AD，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=60°，E为PD的中点．
（Ⅰ）求证：AB⊥PC；
（Ⅱ）求多面体PABCE的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求解三角形可得AB⊥PA，AB⊥AC，由线面垂直的判定可得AB⊥平面PAC，进一步得到AB⊥PC；
（Ⅱ）由题意知PA⊥AD，由（I）知AB⊥PA，可得PA⊥平面ABCD，结合E为PD的中点求得E点到平面ADC的距离为$\frac{1}{2}$PA=1，然后由多面体PABCE的体积为V_P-ABCD-V_E-ACD求解．

解答 （Ⅰ）证明：∵PA=AB=2，PB=2$\sqrt{2}$，∴PA²+AB²=PB²，则AB⊥PA，
由题意知∠ABC=∠ADC=60°，AB=$\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC$，
在△ABC中，由余弦定理有：AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos60°=12，
∴AB²+AC²=BC²，即AB⊥AC，
又∵PA∩AC=A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，
∴AB⊥平面PAC，
又PC?平面PAC，∴AB⊥PC；
（Ⅱ）解：由题意知PA⊥AD，由（I）知AB⊥PA，
∴PA⊥平面ABCD，
由已知得PA=AB=$\frac{1}{2}AD=2$，∴PA=AB=2，AD=4，
∵E为PD的中点，∴E点到平面ADC的距离为$\frac{1}{2}$PA=1，
∴多面体PABCE的体积为${V}_{P-ABCD}-{V}_{E-ACD}=\frac{1}{3}×2×2×sin60°×2-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×sin60°×1$=$2\sqrt{3}$．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，考查多面体体积的求法，是中档题．