Question

14．已知S_n=na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n．
（1）若{a_n}是等差数列，且S₁=5，S₂=18，求a_n；
（2）若{a_n}是等比数列，且S₁=3，S₂=15，求S_n．

Answer 1

分析 （1）设数列{a_n}的公差为d，由已知求出首项和公差，则等差数列的通项公式可求；
（2）设数列{a_n}的公比为q，由已知求出首项和公比，得到等比数列的通项公式，代入S_n=na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n．由错位相减法求得S_n．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公差为d，则S₁=a₁₌₅，S₂=2a₁+a₂=10+a₂=18，
∴a₂=8，d=a₂-a₁=3，
∴a_n=5+3（n-1）=3n+2；
（2）设数列{a_n}的公比为q，则S₁=a₁=3，S₂=2a₁+a₂=6+a₂=15，
∴a₂=9，$q=\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=3$，
∴${a}_{n}=3×{3}^{n-1}={3}^{n}$，
∴S_n=n×3+（n-1）×3²+…+2×3^n-1+3ⁿ，①
3S_n=n×3²+（n-1）×3³+…+2×3ⁿ+3ⁿ⁺¹，②
②-①，得$2{S}_{n}=-3n+（{3}^{2}+{3}^{3}+…+{3}^{n}）+{3}^{n+1}$=$-3n+\frac{{3}^{2}（1-{3}^{n-1}）}{1-3}+{3}^{n+1}$
=$-3n-\frac{9}{2}+\frac{{3}^{n+1}}{2}+{3}^{n+1}$=$\frac{{3}^{n+2}-6n-9}{2}$．
∴S_n=$\frac{{3}^{n+2}-6n-9}{4}$．

点评 本题考查等差数列与等比数列的性质，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．