Question

9．已知函数f（x）=e^x（sinx+cosx）．
（1）如果对于任意的x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（x）≥kx+e^xcosx恒成立，求实数k的取值范围；
（2）若x∈[-$\frac{2015π}{2}$，$\frac{2017π}{2}$]，过点M（$\frac{π-1}{2}$，0）作函数f（x）的图象的所有切线，令各切点的横坐标按从小到大构成数列{x_n}，求数列{x_n}的所有项之和．

Answer 1

分析 （1）由题意可得任意的x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（x）≥kx+e^xcosx恒成立，只需当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，g（x）_min≥0，求出g′（x），令h（x）=e^x（sinx+cosx），求出导数，可得h（x）的单调性，及值域，讨论k≤1时，1＜k＜e${\;}^{\frac{π}{2}}$时，当k≥e${\;}^{\frac{π}{2}}$时，由单调性确定最小值，即可得到所求k的范围；
（2）求出f（x）的导数，设切点坐标为（x₀，e^x₀（sinx₀+cosx₀）），可得切线的斜率和方程，代入M（$\frac{π-1}{2}$，0），可得tanx₀=2（x₀-$\frac{π}{2}$），令y₁=tanx，y₂=2（x-$\frac{π}{2}$），这两个函数的图象关于点（$\frac{π}{2}$，0）对称，即可得到所求数列{x_n}的所有项之和．

解答 解：（1）函数f（x）=e^x（sinx+cosx），
可得g（x）=f（x）-kx-e^xcosx=e^xsinx-kx，
要使任意的x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（x）≥kx+e^xcosx恒成立，
只需当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，g（x）_min≥0，g′（x）=e^x（sinx+cosx）-k，
令h（x）=e^x（sinx+cosx），则h′（x）=2e^xcosx≥0对x∈[0，$\frac{π}{2}$]时恒成立，
∴h（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上是增函数，则h（x）∈[1，e${\;}^{\frac{π}{2}}$]，
①当k≤1时，g′（x）≥0恒成立，g（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上为增函数，
∴g（x）_min≥g（0）=0，∴k≤1满足题意；
②当1＜k＜e${\;}^{\frac{π}{2}}$时，g′（x）=0在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有实根x₀，h（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上是增函数，
则当x∈[0，x₀）时，g′（x）＜0，∴g（x₀）＜g（0）=0不符合题意；
③当k≥e${\;}^{\frac{π}{2}}$时，g′（x）≤0恒成立，g（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上为减函数，
∴g（x）＜g（0）=0不符合题意，
∴k≤1，即k∈（-∞，1]；
（2）函数f（x）=e^x（sinx+cosx），
∴f′（x）=2e^xcosx，
设切点坐标为（x₀，e^x₀（sinx₀+cosx₀）），
则切线斜率为f′（x₀）=2e^x₀cosx₀，
从而切线方程为y-e^x₀（sinx₀+cosx₀）=2e^x₀cosx₀（x-x₀），
∴-e^x₀（sinx₀+cosx₀）=2e^x₀cosx₀（$\frac{π-1}{2}$-x₀），
即tanx₀=2（x₀-$\frac{π}{2}$），令y₁=tanx，y₂=2（x-$\frac{π}{2}$），
这两个函数的图象关于点（$\frac{π}{2}$，0）对称，
则它们交点的横坐标关于x=$\frac{π}{2}$对称，
从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列{x_n}的项也关于x=$\frac{π}{2}$成对出现，
又在[-$\frac{2015π}{2}$，$\frac{2017π}{2}$]内共有1008对，每对和为π，
∴数列{x_n}的所有项之和为1008π．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，单调区间、极值和最值，考查恒成立问题的解法，注意运用转化思想，考查分类讨论思想方法和函数的对称性的运用，属于中档题．