Question

14．椭圆x²+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（0＜b＜1）的左焦点为F，上顶点为A，右顶点为B，若△FAB的外接圆圆心P（m，n）在直线y=-x的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（　　）

• A． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）
• B． （$\frac{1}{2}$，1）
• C． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• D． （0，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 方法一：分别求出线段FA与AB的垂直平分线方程，联立解出圆心坐标P，利用m+n＜0，与离心率计算公式即可得出；
方法二：设△FAB的外接圆方程，将三点代入，即可求得P点坐标，由m+n＜0，求得b和c的关系，即可求得椭圆离心率的取值范围．

解答 解：方法一：如图所示，B是右顶点（1，0），上顶点A（0，b），左焦点F（$\sqrt{1-{b}^{2}}$，0），
线段FB的垂直平分线为：x=$\frac{1-\sqrt{1-{b}^{2}}}{2}$．
线段AB的中点（$\frac{1}{2}$，$\frac{b}{2}$）．
∵k_AB=-b．
∴线段AB的垂直平分线的斜率k=$\frac{1}{b}$．
∴线段AB的垂直平分线方程为：y-$\frac{b}{2}$=$\frac{1}{b}$（x-$\frac{1}{2}$），
把x=$\frac{1-\sqrt{1-{b}^{2}}}{2}$=m，代入上述方程可得：y=$\frac{{b}^{2}-\sqrt{1-{b}^{2}}}{2b}$=n．
由P（m，n）在直线y=-x的左下方，
则m+n＜0，
∴$\frac{1-\sqrt{1-{b}^{2}}}{2}$+$\frac{{b}^{2}-\sqrt{1-{b}^{2}}}{2b}$＜0．
化为：b＜$\sqrt{1-{b}^{2}}$，又0＜b＜1，
解得：0＜b＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴e=$\frac{c}{a}$=c=$\sqrt{1-{b}^{2}}$∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．
∴椭圆离心率的取值范围（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．
故选A．

方法二：设A（0，b），B（a，0），F（-c，0），设△FAB的外接圆的方程x²+y²+Dx+Ey+F=0，
将A，B，F代入外接圆方程，解得：m=$\frac{-c+a}{2}$，n=$\frac{{b}^{2}-ac}{2b}$，
由P（m，n）在直线y=-x的左下方，
则m+n＜0，
∴$\frac{-c+a}{2}$+$\frac{{b}^{2}-ac}{2b}$＜0，整理得：1-c+b-$\frac{c}{b}$＜0，
∴b-c+$\frac{b-c}{b}$＜0，
∴b-c＜0，
由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=c，
∴2e²＞1，由0＜e＜1，
解得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜e＜1，
∴椭圆离心率的取值范围（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．
故选A．

点评 本题考查椭圆的简单性质，三角形形外接圆求得求法，考查计算能力，数形结合思想，属于中档题．