Question

3．计算：C₃⁰+C₄¹+C₅²+…+C₁₆¹³=2380．（用数字作答）

Answer 1

分析 原式=${∁}_{3}^{0}$+${∁}_{4}^{1}$+${∁}_{5}^{2}$+${∁}_{6}^{3}$+${∁}_{7}^{3}$+…+${∁}_{15}^{3}$+${∁}_{16}^{3}$=1+4+10+${∁}_{6}^{3}$+${∁}_{7}^{3}$+…+${∁}_{15}^{3}$+${∁}_{16}^{3}$=${∁}_{6}^{4}$+${∁}_{6}^{3}$+${∁}_{7}^{3}$+…+${∁}_{15}^{3}$+${∁}_{16}^{3}$，利用${∁}_{n}^{r+1}+{∁}_{n}^{r}$=${∁}_{n+1}^{r+1}$即可得出．

解答 解：原式=${∁}_{3}^{0}$+${∁}_{4}^{1}$+${∁}_{5}^{2}$+${∁}_{6}^{3}$+${∁}_{7}^{3}$+…+${∁}_{15}^{3}$+${∁}_{16}^{3}$
=1+4+10+${∁}_{6}^{3}$+${∁}_{7}^{3}$+…+${∁}_{15}^{3}$+${∁}_{16}^{3}$
=${∁}_{6}^{4}$+${∁}_{6}^{3}$+${∁}_{7}^{3}$+…+${∁}_{15}^{3}$+${∁}_{16}^{3}$
=${∁}_{7}^{4}$+${∁}_{7}^{3}$+…+${∁}_{15}^{3}$+${∁}_{16}^{3}$
=${∁}_{16}^{4}+{∁}_{16}^{3}$
=${∁}_{17}^{4}$
=2380．
故答案为：2380．

点评 本题考查了组合数的计算公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．