Question

6．如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD=2AB=4，将△ABD沿BD折到△A′BD的位置，使平面A′BD⊥平面CBD．
（Ⅰ）求证：CD⊥A′B；
（Ⅱ）试在线段A′C上确定一点P，使得二面角P-BD-C的大小为45°．

Answer 1

分析 （I）法一：由余弦定理推导出BD⊥CD，从而CD⊥面A'BD，由此能证明A'B⊥CD．
法二：过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，则AE∥DF，推导出CD⊥BD，从而CD⊥平面A'BD，由此能证明CD⊥A'B．
（II）法一：取BD的中点O，连接A′O，推导出平面A'OC⊥平面BCD，过点P作PQ⊥OC于Q，则PQ⊥平面BCD，过点Q作QH⊥BD于H，连接PH，推导出PH⊥BD，从而∠PHQ为二面角P-BD-C的平面角，由此能求出P为A'C上靠近A'的三等分点，二面角P-BD-C的大小为45°．
法二：以D为坐标原点，以$\overrightarrow{DB}$的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系D-xyz，利用向量法能求出点P在线段A'C靠近A'的三等分点处．

解答 证明：（I）证法一：在△ABC中，由余弦定理得BD²=AB²+AD²-2AB•ADcosA=4+4+8cosC，
在△BCD中，由余弦定理得BD²=BC²+CD²-2BC•CD•cosC=16+4-16cosC
由上述两式可知，$BD=2\sqrt{3}，cosC=\frac{1}{2}$（3分）
∴BD⊥CD（4分）
又∵面A'BD⊥面CBD，面A'BD∩面CBD=BD，
∴CD⊥面A'BD（5分）
∵A'B?面A'BD，∴A'B⊥CD．（6分）
解：（II）法一：存在．P为A'C上靠近A'的三等分点．（7分）
取BD的中点O，连接A′O，∵A'B=A'D∴A'O⊥BD
又∵平面A′BD⊥平面CBD，∴A'O⊥平面CBD，（8分）
∴平面A'OC⊥平面BCD，
过点P作PQ⊥OC于Q，则PQ⊥平面BCD，过点Q作QH⊥BD于H，连接PH．
则QH是PH在平面BDC的射影，故PH⊥BD，
所以，∠PHQ为二面角P-BD-C的平面角，（10分）
P为A'C上靠近A'的三等分点，
∴$PQ=\frac{2}{3}$，$\frac{OQ}{OC}=\frac{1}{3}$，∴$HQ=\frac{1}{3}DC=\frac{2}{3}$，∴∠PHD=45°．
∴二面角P-BD-C的大小为45°． （12分）
证明：（Ⅰ）证法一：在等腰梯形ABCD中，过点A作AE⊥BC于E，
过点D作DF⊥BC于F，则AE∥DF，∴EF=AD=2，
又∵在等腰梯形ABCD中，Rt△ABE≌Rt△DCF且BC=4∴BE=FC=1∴$cosC=\frac{1}{2}$D（2分）
在△BCD中，$B{D^2}=B{C^2}+C{D^2}-2BC•CD•cosC={4^2}+{2^2}-2×4×2×\frac{1}{2}=12$，
∴BD²+CD²=BC²，∴CD⊥BD，（4分）
又∵平面A'BD⊥平面CBD，
面A'BD∩面CBD=BD∴CD⊥平面A'BD（5分）∴CD⊥A'B．（6分）
（Ⅱ）解法二：由（Ⅰ）知CD⊥BD，CD⊥平面A′BD．
以D为坐标原点，以$\overrightarrow{DB}$的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz．（7分）
则D（0，0，0），$B（2\sqrt{3}，0，0）$，C（0，2，0），
取BD的中点O，连接A'O，∵A'B=A'D∴A'O⊥BD
在等腰△A'BD中$A'B=2，BD=2\sqrt{3}$可求得A'O=1∴$A'（\sqrt{3}，0，1）$（8分）
所以$\overrightarrow{DB}=（2\sqrt{3}，0，0）$，$\overrightarrow{BA'}=（-\sqrt{3}，0，1）$$\overrightarrow{A'C}=（-\sqrt{3}，2，-1）$
设$\overrightarrow{A'P}=λ\overrightarrow{A'C}$，则$\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{BA'}+\overrightarrow{A'P}=（-\sqrt{3}-\sqrt{3}λ，2λ，1-λ）$
设$\overrightarrow n=（x，y，z）$是平面PBD的法向量，则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{BP}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{DB}=0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}（-\sqrt{3}-\sqrt{3}λ）x+2λy+（1-λ）z=0\\ 2\sqrt{3}x=0\end{array}\right.$可取$\overrightarrow n=（0，\frac{λ-1}{2λ}，1）$
易知：平面CBD的一个法向量为$\overrightarrow m=（0，0，1）$（10分）
由已知二面角P-BD-C的大小为45°．
∴$|cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞|=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|\overrightarrow{m|}•|\overrightarrow n|}}=\frac{1}{{\sqrt{{{（\frac{λ-1}{2λ}）}^2}+1}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
解得：$λ=\frac{1}{3}$或λ=-1（舍）
∴点P在线段A'C靠近A'的三等分点处．   （12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查满足条件的点的位置的确定与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．