Question

11．对于函数$f（x）=sin（x+\frac{3π}{2}）cos（\frac{π}{2}+x）$，给出下列四个结论：
（1）函数f（x）的最小正周期为π；    
（2）若f（x₁）=-f（x₂），则x₁=-x₂；
（3）f（x）的图象关于直线$x=-\frac{π}{4}$对称；
（4）f（x）在$[{\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}}]$上是减函数．
其中正确的个数为（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 1
• D． 3

Answer 1

分析 利用三角函数的诱导公式及同角三角函数的基本关系式化简，求得函数周期判断（1）；由f（x₁）=-f（x₂）得到x₁与x₂的关系判断（2）；由f（-$\frac{π}{4}$）为函数最小值判断（3）；由复合函数的单调性判断（4）．

解答 解：$f（x）=sin（x+\frac{3π}{2}）cos（\frac{π}{2}+x）$=-cosx•（-sinx）=sinxcosx=$\frac{1}{2}sin2x$．
（1）函数f（x）的最小正周期为π，正确；
（2）若f（x₁）=-f（x₂），则$\frac{1}{2}sin2{x}_{1}=-\frac{1}{2}sin2{x}_{2}=\frac{1}{2}sin（-2{x}_{2}）$，
∴2x₁=-2x₂+2kπ（k∈Z）或2x₁-2x₂=π+2kπ（k∈Z），故（2）错误；
（3）∵$f（-\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}sin[2×（-\frac{π}{4}）]=-\frac{1}{2}$，∴f（x）的图象关于直线$x=-\frac{π}{4}$对称，故（3）正确；
（4）由x∈$[{\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}}]$，得2x∈$[\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}]$，得f（x）在$[{\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}}]$上是减函数，故（4）正确．
∴其中正确命题的个数是3个．
故选：D．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了三角函数的诱导公式、同角三角函数的基本关系式及y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．