Question

18．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x+a|+|x-1|，}&{x＞0}\\{{x}^{2}-ax+2，}&{x≤0}\end{array}\right.$的最小值为a+1，则实数a的取值范围为{-2-2$\sqrt{2}$}∪[-1，1]．

Answer 1

分析 讨论-a与0，1的大小关系，判断f（x）在两区间（-∞，0]和（0，+∞）上的单调性与最小值，列不等式解出a的范围．

解答 解：（1）若-a≤0，即a≥0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a+1，0＜x≤1}\\{2x+a-1，x＞1}\\{{x}^{2}-ax+2，x≤0}\end{array}\right.$，
∴f（x）在（-∞，0]上单调递减，最小值为f（0）=2，在（0，+∞）上最小值为a+1，
故只需2≥a+1即可，解得0≤a≤1；
（2）若0＜-a≤1，即-1≤a＜0时，则f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2x-a+1，0＜x≤-a}\\{a+1，-a＜x＜1}\\{2x+a-1，x≥1}\\{{x}^{2}-ax+2，x≤0}\end{array}\right.$，
∴f（x）在（-∞，0]上先减后增，最小值为f（$\frac{a}{2}$）=2-$\frac{{a}^{2}}{4}$，在（0，+∞）上最小值为a+1，
故只需2-$\frac{{a}^{2}}{4}$≥a+1即可，解得-2-2$\sqrt{2}$≤a≤-2+2$\sqrt{2}$，
又-1≤a＜0，∴-1≤a＜0，
（3）若-a＞1，即a＜-1时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2x-a+1，0＜x≤1}\\{-a-1，1＜x＜-a}\\{2x+a-1，x≥-a}\\{{x}^{2}-ax+2，x≤0}\end{array}\right.$，
∴f（x）在（-∞，0]上先减后增，最小值为f（$\frac{a}{2}$）=2-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
f（x）在（0，+∞）上的最小值为-a-1＞0，
而f（x）的最小值为a+1＜0，故只需令2-$\frac{{a}^{2}}{4}$=a+1即可，解得a=-2-2$\sqrt{2}$或a=-2+2$\sqrt{2}$（舍），
综上，a的取值范围是{-2-2$\sqrt{2}$}∪[-1，1]．
故答案为：{-2-2$\sqrt{2}$}∪[-1，1]．

点评 本题考查了分段函数的单调性与最值计算，分类讨论思想，属于中档题．