Question

1．已知双曲线与椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$的焦点相同，且它们的离心率的乘积等于$\frac{8}{5}$，则此双曲线的方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$
• B． $\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{12}=1$
• C． $\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{4}=1$
• D． $\frac{y^2}{12}-\frac{x^2}{4}=1$

Answer 1

分析 根据题意，求出椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$的焦点坐标以及离心率e，由此设双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，由题意可得a²+b²=16以及e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{4}$，解可得a²=4，b²=12，代入双曲线的方程即可得答案．

解答 解：根据题意，椭圆的方程为$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$，
其焦点坐标为（0，±4），离心率e=$\frac{4}{5}$，
对于双曲线，设其方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
则有a²+b²=16，
且其离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{4}$，
解可得a²=4，b²=12，
则双曲线的方程为：$\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{12}$=1；
故选：B．

点评 本题考查双曲线、椭圆的标准方程，关键是求出椭圆的焦点坐标以及离心率．