Question

11．如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥PC；
（1）求证：平面PAB⊥平面PCD；
（2）若过点B的直线l垂直平面PCD，求证：l∥平面PAD．

Answer 1

分析 （1）利用侧面PAD⊥底面ABCD可得CD⊥平面PAD，故而CD⊥PA，结合PA⊥PC得出PA⊥平面PCD，故而平面PAB⊥平面PCD；
（2）由线面垂直的性质可得l∥PA，于是l∥平面PAD．

解答 证明：（1）∵ABCD为矩形，∴CD⊥AD，
∵平面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥平面PAD，∵AP?平面PAD，
∴PA⊥CD，又PA⊥PC，PC∩CD=C，CD、PC?平面PCD，
∴AP⊥平面PCD，又AP?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PCD．
（2）由（1）知，AP⊥平面PCD，又l⊥平面PCD，
∴l∥PA，
又l?平面PAD，AP?平面PAD，
∴l∥平面PAD．

点评 本题考查了空间线面平行于垂直的判定与性质，属于中档题．