Question

17．已知命题p：?x∈（-∞，0），2^x＞3^x；命题q：?x∈（0，$\frac{π}{2}$），sinx＞x，则下列命题为真命题的是（　　）

• A． p∧q
• B． （￢p）∨q
• C． （￢p）∧q
• D． p∧（￢q）

Answer 1

分析 命题p：?x∈（-∞，0），$（\frac{2}{3}）^{x}$＞1，即2^x＞3^x，可得p是真命题．命题q：x∈（0，$\frac{π}{2}$），令f（x）=x-sinx，利用导数研究其单调性即可得出真假．

解答 解：命题p：?x∈（-∞，0），$（\frac{2}{3}）^{x}$＞1，即2^x＞3^x，因此p是真命题．
命题q：x∈（0，$\frac{π}{2}$），令f（x）=x-sinx，f′（x）=1-cosx＞0，因此函数f（x）在x∈（0，$\frac{π}{2}$）单调递增，∴f（x）＞f（0）=0．∴?x∈（0，$\frac{π}{2}$），sinx＜x，因此q是假命题．
则下列命题为真命题的是p∧（￢q）．
故选：D．

点评 本题考查了指数函数的单调性、利用导数研究函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．