Question

20．已知函数f（x）=ax²+bx+c，且a＞b＞c，a+b+c=0，集合A={m|f（m）＜0}，则（　　）

• A． 任意m∈A，都有f（m+3）＞0
• B． 任意m∈A，都有f（m+3）＜0
• C． 存在m∈A，都有f（m+3）=0
• D． 存在m∈A，都有f（m+3）＜0

Answer 1

分析 由题意可得  a＞0，且c＜0，-2＜$\frac{c}{a}$＜-$\frac{1}{2}$，x=1为f（x）的一个零点，再由根与系数的关系可得，另一零点为$\frac{c}{a}$．可得A={m|$\frac{c}{a}$＜m＜1}，m+3＞1，有f（m+3）＞0恒成立，从而得出结论．

解答 解：∵函数f（x）=ax²+bx+c，且a＞b＞c，a+b+c=0，故有 a＞0，且c＜0．
∴0＜a+a+c=2a+c，即 $\frac{c}{a}$＞-2，且 0＞a+c+c=a+2c，即$\frac{c}{a}$＜-$\frac{1}{2}$，因此有-2＜$\frac{c}{a}$＜-$\frac{1}{2}$，
又f（1）=a+b+c=0，故x=1为f（x）的一个零点．
由根与系数的关系可得，另一零点为 $\frac{c}{a}$＜0，所以有：A={m|$\frac{c}{a}$＜m＜1}．
所以，m+3＞$\frac{c}{a}$+3＞1，所以有f（m+3）＞0恒成立，
故选：A．

点评 本题主要考查二次函数的性质，一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化的数学思想，属于中档题．