Question

15．已知过抛物线x²=4y焦点F的直线交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），若$\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$，则直线的方程为（　　）

• A． $\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0$
• B． $x-\sqrt{3}y+\sqrt{3}=0$
• C． $x-\sqrt{3}y-1=0$
• D． $\sqrt{3}x-y+1=0$

Answer 1

分析 根据直线方程可知直线恒过定点F（0，1），过A、B分别作BQ⊥l于Q，AP⊥l于P，BC⊥AP，垂足为C，由|AF|=3|FB|，则|AP|=3|BQ|，进而求得直线的斜率．

解答 解：设抛物线C：x²=4y的准线为l：y=-1，焦点F（0，1）
设直线AB：y=kx+1（k＞0）
过A、B分别作AP⊥l于P，BQ⊥l于Q，BC⊥AP，垂足为C，
由|AF|=3|FB|=3m，则|AP|=3|BQ|=3m，∴|AC|=2m，|AB|=4m，|BC|=2$\sqrt{3}$m
∴k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则直线AB的方程：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1，整理得：x-$\sqrt{3}$y+$\sqrt{3}$=0，
故选：B．

点评 本题主要考查了抛物线的简单性质，考查了对抛物线的基础知识的灵活运用，考查了数形结合的思想，属于中档题．