Question

10．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中$A＞0，ω＞0，0＜Φ＜\frac{π}{2}$）的图象与x轴的交点中，相邻的两个交点之间的距离为$\frac{π}{2}$，且图象上的一个最低点为$M（\frac{2π}{3}，-2）$，则f（x）的解析式为（　　）

• A． $f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$
• B． $f（x）=2cos（2x+\frac{π}{6}）$
• C． $f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）$
• D． $f（x）=cos（2x+\frac{π}{3}）$

Answer 1

分析 根据三角函数的图象和性质，分别求出A，ω和φ的值即可．

解答 解：三角函数相邻的两个交点之间的距离为$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2}$，即函数的周期T=π=$\frac{2π}{ω}$，
则ω=2，
由图象上的一个最低点为$M（\frac{2π}{3}，-2）$，
∴A=2，
即f（x）=2sin（2x+φ），且2sin（$\frac{2π}{3}$×2+φ）=-2，
即sin（$\frac{4π}{3}$+φ）=-1，
则$\frac{4π}{3}$+φ=$\frac{3π}{2}$+2kπ，
得φ=$\frac{π}{6}$+2kπ，
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴当k=0时，φ=$\frac{π}{6}$，
则f（x）的解析式为$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$，
故选：A．

点评 本题主要考查三角函数解析式的求解，根据条件分别求出A，ω和φ的值是解决本题的关键．