Question

1．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，acosC+ccosA=2bcosB．
（1）求角B的值；
（2）若a=4，b=6，求边c的长．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件以及正弦定理求出B的正弦值，然后求角B的大小；
（2）由已知利用余弦定理即可解得c的值．

解答 解：（1）由acosC+ccosA=2bcosB以及正弦定理可知，
sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB，
即sin（A+C）=2sinBcosB．
因为A+B+C=π，所以sin（A+C）=sinB≠0，
所以cosB=$\frac{1}{2}$．
∵B∈（0，π）
∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）∵a=4，b=6，B=$\frac{π}{3}$．
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，可得：0=c²-4c-20，
∴解得：c=2+2$\sqrt{6}$，或2-2$\sqrt{6}$（舍去）．

点评 本题考查正弦定理，余弦定理，三角形的内角和的应用，注意角的范围的应用，考查计算能力，属于基础题．