Question

20．已知四面体ABCD的底面BCD是边长为2的等边三角形，AB=AC=3，则当棱AD长为$\sqrt{11}$时，四面体ABCD的体积最大．

Answer 1

分析 当体积最大时，平面ABC与底面BCD垂足，利用勾股定理计算AD．

解答 解：取BC的中点E，连结AE，DE，
∵AB=AC，BD=CD，
∴BC⊥AE，BC⊥DE，
∴∠AED为二面角A-BC-D的平面角，
∴A到平面BCD的距离d=AE•sin∠AED，
显然当∠AED=90°时，四面体体积最大．
此时，AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{C{D}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{11}$．
故答案为：$\sqrt{11}$．

点评 本题考查了空间点到平面的距离计算，棱锥的体积计算，属于中档题．