Question

6．已知数列{a_n}为公差不为0的等差数列，满足a₁=5，且a₂，a₉，a₃₀成等比数列．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足$\frac{1}{{b}_{n+1}}$-$\frac{1}{{b}_{n}}$=a_n（n∈N^*），且b₁=$\frac{1}{3}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），由a₂，a₉，a₃₀成等比数列可知$（{{a_1}+d}）（{{a_1}+29d}）={（{{a_1}+8d}）^2}$，又a₁=5，解得d即可得出．
（2）由数列{b_n}满足$\frac{1}{{b}_{n+1}}$-$\frac{1}{{b}_{n}}$=a_n（n∈N^*），可得：$\frac{1}{{b}_{n}}-\frac{1}{{b}_{n-1}}$=a_n-1（n≥2）．且b₁=$\frac{1}{3}$，
当n≥2时，$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{{b}_{1}}$+$（\frac{1}{{b}_{2}}-\frac{1}{{b}_{1}}）$+…+$（\frac{1}{{b}_{n}}-\frac{1}{{b}_{n-1}}）$=3+a₁+a₂+…+a_n-1，利用等差数列的求和公式即可得出$\frac{1}{{b}_{n}}$=n（n+2）．可得b_n=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，再利用裂项求和方法即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），
由a₂，a₉，a₃₀成等比数列可知$（{{a_1}+d}）（{{a_1}+29d}）={（{{a_1}+8d}）^2}$，
又a₁=5，解得d=2，∴a_n=2n+3．
（2）由数列{b_n}满足$\frac{1}{{b}_{n+1}}$-$\frac{1}{{b}_{n}}$=a_n（n∈N^*），可得：$\frac{1}{{b}_{n}}-\frac{1}{{b}_{n-1}}$=a_n-1（n≥2）．且b₁=$\frac{1}{3}$，
当n≥2时，$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{{b}_{1}}$+$（\frac{1}{{b}_{2}}-\frac{1}{{b}_{1}}）$+…+$（\frac{1}{{b}_{n}}-\frac{1}{{b}_{n-1}}）$
=3+a₁+a₂+…+a_n-1=3+$\frac{（n-1）（2n+6）}{2}$=n（n+2）．
对b₁=$\frac{1}{3}$上式也成立，∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=n（n+2）．
∴b_n=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}$$（\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{3{n}^{2}+5n}{4（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．