Question

15．已知数列{a_n+81}是公比为3的等比数列，其中a₁=-78，则数列{|a_n|}的前100项和为（　　）

• A． $\frac{{{3^{101}}-16203}}{2}$
• B． $\frac{{{3^{100}}-15387}}{2}$
• C． $\frac{{{3^{101}}-15387}}{2}$
• D． $\frac{{{3^{100}}-16203}}{2}$

Answer 1

分析 数列{a_n+81}是公比为3的等比数列，其中a₁=-78，k可得a_n+81=3×3^n-1，可得a_n=3ⁿ-81．n≤4时，a_n≤0，n≥5时，a_n＞0．因此数列{|a_n|}的前100项和=81-3+81-9+81-27+0+（3⁵-81）+（3⁶-81）+…+（3¹⁰⁰-81），再利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：∵数列{a_n+81}是公比为3的等比数列，其中a₁=-78，
∴a_n+81=3×3^n-1，可得a_n=3ⁿ-81．
n≤4时，a_n≤0，n≥5时，a_n＞0．
则数列{|a_n|}的前100项和=81-3+81-9+81-27+0+（3⁵-81）+（3⁶-81）+…+（3¹⁰⁰-81）
=204+$\frac{243（{3}^{96}-1）}{3-1}$-81×（100-4）
=$\frac{{3}^{101}-15387}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、法分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．