Question

16．已知p：不等式|m-1|≤$\sqrt{{a^2}+4}$对于$a∈[{-2，\sqrt{5}}]$恒成立，q：x²+mx+m＜0有解，若p∨q为真，p∧q为假，求m的取值范围．

Answer 1

分析 求出p，q的等价条件，结合复合命题真假关系进行转化求解即可．

解答 解：∵$a∈[{-2，\sqrt{5}}]$，∴$\sqrt{{a^2}-4}∈[{2，3}]$，
∵对于$a∈[{-2，\sqrt{5}}]$，不等式$|m-1|≤\sqrt{{a^2}+4}$恒成立，可得|m-1|≤2，
∴p：-1≤m≤3，
又命题q：x²+mx+m＜0有解，∴△=m²-4m＞0，解得m＜0或m＞4，
∵p∨q为真，且p∧q为假，
∴p与q必有一真一假当p真q假时，有$\left\{\begin{array}{l}-1≤m≤3\\ 0≤m≤4\end{array}\right.$，
即0≤m≤3，
当p假q真时，有$\left\{\begin{array}{l}m＜-1或m＞3\\ m＞4或m＜0\end{array}\right.$，即m＜-1或m＞4，
综上，实数m的取值范围是（-∞，-1）∪[0，3]∪（4，+∞）．

点评 本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题的等价条件，结合复合命题真假关系是解决本题的关键．