Question

19．已知函数$f（x）={e^x}-\frac{m}{2}{x^2}-mx-1$．
（1）当m=1时，求证：对?x∈[0，+∞）时，f（x）≥0；
（2）当m≤1时，讨论函数f（x）零点的个数．

Answer 1

分析 （1）当m=1时，$f（x）={e^x}-\frac{x^2}{2}-x-1$，则f'（x）=e^x-x-1，令g（x）=e^x-x-1，利用导数研究其单调性极值与最值，可得函数f'（x）=e^x-x-1在[0，+∞）上为增函数，即当x≥0时，f'（x）≥f'（0）=0，可得函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，即可证明．
（2）由（1）知，当x≤0时，e^x-1≤0，所以g'（x）≤0，可得e^x≥x+1．
①当x≥-1时，x+1≥0，又m≤1，m（x+1）≤x+1，可得e^x-m（x+1）≥0，即f'（x）≥0，可得：函数f（x）在区间[-1，+∞）上有且仅有一个零点，且为0．
②当x＜-1时，（ⅰ）当0≤m≤1时，-m（x+1）≥0，e^x＞0，可得f'（x）=e^x-m（x+1）＞0，函数f（x）在（-∞，-1）上递增，函数y=f（x）在区间（-∞，-1）上无零点．
（ⅱ）当m＜0时，f'（x）=e^x-mx-m，令h（x）=e^x-mx-m，则h'（x）＞0，函数f'（x）=e^x-mx-m在（-∞，-1）上单调递增，f'（-1）=e^-1＞0，可得函数存在两个零点．

解答 解：（1）当m=1时，$f（x）={e^x}-\frac{x^2}{2}-x-1$，则f'（x）=e^x-x-1，
令g（x）=e^x-x-1，则g'（x）=e^x-1，当x≥0时，e^x-1≥0，即g'（x）≥0，
所以函数f'（x）=e^x-x-1在[0，+∞）上为增函数，
即当x≥0时，f'（x）≥f'（0），所以当x≥0时，f'（x）≥0恒成立，
所以函数$f（x）={e^x}-\frac{x^2}{2}-x-1$，在[0，+∞）上为增函数，又因为f（0）=0，
所以当m=1时，对?x∈[0，+∞），f（x）≥0恒成立．
（2）由（1）知，当x≤0时，e^x-1≤0，所以g'（x）≤0，所以函数f'（x）=e^x-x-1的减区间为（-∞，0]，增区间为[0，+∞）．所以f'（x）_min=f'（0）=0，所以对?x∈R，f'（x）≥0，即e^x≥x+1．
①当x≥-1时，x+1≥0，又m≤1，∴m（x+1）≤x+1，∴e^x-m（x+1）≥e^x-（x+1）≥0，即f'（x）≥0，所以当x≥-1时，函数f（x）为增函数，又f（0）=0，所以当x＞0时，f（x）＞0，当-1≤x＜0时，f（x）＜0，所以函数f（x）在区间[-1，+∞）上有且仅有一个零点，且为0．
②当x＜-1时，（ⅰ）当0≤m≤1时，-m（x+1）≥0，e^x＞0，所以f'（x）=e^x-m（x+1）＞0，
所以函数f（x）在（-∞，-1）上递增，所以f（x）＜f（-1），且$f（{-1}）={e^{-1}}+\frac{m}{2}-1，{e^{-1}}+\frac{m}{2}-1＜\frac{m-1}{2}＜0$，
故0≤m≤1时，函数y=f（x）在区间（-∞，-1）上无零点．
（ⅱ）当m＜0时，f'（x）=e^x-mx-m，令h（x）=e^x-mx-m，则h'（x）=e^x-m＞0，
所以函数f'（x）=e^x-mx-m在（-∞，-1）上单调递增，f'（-1）=e^-1＞0，
当$x=\frac{{{e^{-1}}}}{m}-1$时，$f'（x）=\frac{{{e^{-1}}}}{m}-1-m（{\frac{{{e^{-1}}}}{m}-1}）-m={e^{-1}}•（{\frac{{{e^{-1}}}}{m}-1}）＜0$，又曲线f'（x）在区间$（{\frac{{{e^{-1}}}}{m}-1，-1}）$上不间断，
所以?x₀∈$（\frac{1}{em}-1，-1）$，使f'（x₀）=0，
故当x∈（x₀，-1）时，0=f'（x₀）＜f'（x）＜f'（-1）=e^-1，
当x∈（-∞，x₀）时，f'（x）＜f'（x₀）=0，
所以函数$f（x）={e^x}-\frac{m}{2}{x^2}-mx-1$的减区间为（-∞，x₀），增区间为（x₀，-1），
又$f（{-1}）={e^{-1}}+\frac{m}{2}-1＜0$，所以对?x∈[x₀，-1），f（x）＜0，
又当$x＜-\sqrt{1-\frac{2}{m}}-1$时，$-\frac{m}{2}{x^2}-mx-1＞0$，∴f（x）＞0，
又f（x₀）＜0，曲线$f（x）={e^x}-\frac{m}{2}{x^2}-mx-1$在区间$（{-\sqrt{1-\frac{2}{m}}，{x^*}}）$上不间断．
所以?x₁∈（-∞，x₀），且唯一实数x₁，使得f（x₁）=0，
综上，当0≤m≤1时，函数y=f（x）有且仅有一个零点；当m＜0时，函数y=f（x）有个两零点．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法、函数零点，考查了推理能力与计算能力，属于难题．