Question

已知数列{a_n}的首项，，n∈N⁺
（Ⅰ）设证明：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）数列{}的前n项和S_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵数列{a_n}的首项，，
∴a₂==，
a₃==，
a₄==．
由此猜想a_n=．
用数学归纳法证明：
①当n-1时，=，成立；
②假设n=k时，等式成立，即，
则==，成立．
∴a_n=．
∴=-1=．
∵b₁=-1=-1=，==，
∴数列{b_n}是首项为，公比为的等比数列．
（Ⅱ）∵b_n=，
∴=n•2ⁿ，
∴数列{}的前n项和
S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，①
∴2S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-S_n=2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
=-n×2ⁿ⁺¹
=-（2-2ⁿ⁺¹+n×2ⁿ⁺¹），
∴S_n=2-2ⁿ⁺¹+n×2ⁿ⁺¹=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
分析：（Ⅰ）由数列{a_n}的首项，，推导出a_n=．所以=．由此能够证明数列{b_n}是等比数列．
（Ⅱ）由b_n=，知=n•2ⁿ，故数列{}的前n项和S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，由此利用错位相减法能求出数列{}的前n项和S_n．
点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意数学归纳法、错位相减法和递推思想的合理运用．