Question

16．已知$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=5}\\{{a}_{n+1}=\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+3}}\end{array}\right.$，求通项公式a_n=$\sqrt{3n+22}$．

Answer 1

分析 利用数列的递推关系式求出数列{a_n²}是等差数列，求出通项公式，然后求解即可．

解答 解：因为$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=5}\\{{a}_{n+1}=\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+3}}\end{array}\right.$，
所以a_n+1²=a_n²+3，n≥2，
可得a_n+1²-a_n²=3，所以{a_n²}是以25为首项，3为公差的等差数列，
a_n²=25+3（n-1）=3n+22．
可得a_n=$\sqrt{3n+22}$．
故答案为：$\sqrt{3n+22}$．

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．