Question

1．已知动圆P过定点A（-3，0），并且与定圆B：（x-3）²+y²=64内切．
（1）求动圆圆心P的轨迹E的方程；
（2）过M（2，1）作直线l交E于A，B两点，且M恰是AB中点，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设动圆P和定圆B内切于M，则动圆的圆心P到两点，即定点A（-3，0）和定圆的圆心B（3，0）的距离之和恰好等于定圆半径，根据椭圆的定义，可得结论．
（2）设出A，B的坐标，然后根据它们的中点为M，可将坐标间的关系转化为求直线l的斜率，然后再由点斜式求出直线方程．

解答 解：（1）如图，设动圆P和定圆B内切于M，则动圆的圆心P到两点，即定点A（-3，0）和定圆的圆心B（3，0）的距离之和恰好等于定圆半径，
即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8．
∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，a=4，c=3，b=$\sqrt{7}$，
∴动圆圆心P的轨迹E的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{7}$=1；
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
代入椭圆方程，作差整理可得k_AB=-$\frac{7}{8}$，
又∴直线l的方程为y-1=-$\frac{7}{8}$（x-2），
即7x+8y-22=0．

点评 本题重点考查轨迹方程的探求，点作差法的应用，解题的关键是利用两圆的位置关系，得出动圆的圆心P到两定点A（-3，0）和定圆的圆心B（3，0）的距离之和恰好等于定圆半径，属于中档题．