Question

已知函数g(x)＝＋lnx在[1，＋∞)上为增函数，且∈(0，π)，f(x)＝mx－－lnx，m∈R．

(1)求的值；

(2)若f(x)－g(x)在[1，＋∞)上为单调函数，求m的取值范围；

(3)设h(x)＝，若在[1，e]上至少存在一个x₀，使得f(x₀)－g(x₀)＞h(x₀)成立，求m的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由题意，≥0在上恒成立，即．　1分 　　∵θ∈(0，π)，∴．故在上恒成立，　2分 　　只须，即，只有．结合θ∈(0，π)，得．　4分 　　(2)由(1)，得．．　5分 　　∵在其定义域内为单调函数， 　　∴或者在[1，＋∞)恒成立．　6分 　　等价于，即， 　　而，()max＝1，∴．　8分 　　等价于，即在[1，＋∞)恒成立， 　　而∈(0，1]，． 　　综上，m的取值范围是．　10分 　　(3)构造，． 　　当时，，，，所以在[1，e]上不存在一个使得成立．　12分 　　当时，．　14分 　　因为，所以，，所以在恒成立． 　　故在上单调递增，，只要， 　　解得 　　故的取值范围是．　 15分