Question

【题目】已知函数（为常数）与轴有唯一的公关点．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）曲线在点处的切线斜率为，若存在不相等的正实数，满足，证明： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）当时，函数的递增区间为，递减区间为；

当时，函数的递增区间为，无递减区间．（Ⅱ）证明见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）因为函数的定义域为，且，故由题意可知曲线与轴存在公共点，又，对a进行讨论分， 四种情况进行可得解（Ⅱ）容易知道函数在处的切线斜率为，得，由（Ⅰ）可知，且函数在区间上递增．不妨设，因为，则，则有，整理得，利用基本不等式构建关于不等关系即可证得.

试题解析：

（Ⅰ）因为函数的定义域为，且，

故由题意可知曲线与轴存在公共点，又，则有

当时， ，函数在定义域上递增，满足条件；

当时，函数在上递减，在上递增，

①若时，则，取，则，

故由零点存在定理可知，函数在上还有一个零点，因此不符合题意；

②若，则函数的极小值为，符合题意；

③若，则由函数的单调性，有，取，有．下面研究函数

， ，因为恒成立，故函数在上递增，故，故成立，函数在区间上存在零点．

不符合题意．

综上所述：

当时，函数的递增区间为，递减区间为；

当时，函数的递增区间为，无递减区间．

（Ⅱ）容易知道函数在处的切线斜率为，得，

由（Ⅰ）可知，且函数在区间上递增．

不妨设，因为，则，

则有，整理得，

由基本不等式得，故，整理得，即．

由函数在上单调递增，所以，即．