Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）若为的极值点，求的值；

（Ⅱ）若在单调递增，求的取值范围．

（Ⅲ）当时，方程有实数根，求的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ） ；（Ⅲ）0．

【解析】试题分析：

(Ⅰ)求导可得，结合题意可知，据此可得，经验证满足题意，即的值为0；

(Ⅱ) 在单调递增，则在区间上恒成立，分类讨论：①当时，符合题意；②当时，由的定义域可知： ，若，不满足条件，则，讨论可得，综上所述， 的取值范围为；

(Ⅲ)当时，方程转化成 ，

令，构造函数， ， 在上单调递增；在上单调递减；结合题意计算可得的最大值为0．

试题解析：

（Ⅰ），求导， ，

由为的极值点，则，即，解得： ，

当时， ，

从而为函数的极值点，成立，

∴的值为0；

（Ⅱ）在单调递增，则 ，

则在区间上恒成立，

①当时， 在区间上恒成立，

∴在区间上单调递增，故符合题意；

②当时，由的定义域可知： ，

若，则不满足条件在区间上恒成立，

则，

则，对区间上恒成立，

令，其对称轴为，

由，则，

从而在区间上恒成立，

只需要即可，

由，解得： ，

由，则，

综上所述， 的取值范围为；

（Ⅲ）当时，方程，转化成，

即 ，令，

则在上有解，

令， ，

求导，

当时， ，故在上单调递增；

当时， ，故在上单调递减；

在上的最大值为，

此时， ，

当时，方程有实数根，则的最大值为0．