Question

20．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为10，离心率为$\frac{2}{3}$．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求以椭圆焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）求得椭圆的焦点和左右顶点，可设双曲线的方程$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m，n＞0），求得m，n，即可得到双曲线的方程．

解答 解：（1）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得2b=10，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{3}$，a²-b²=c²，
解得b=5，a=3$\sqrt{5}$，c=2$\sqrt{5}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{45}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1；
（2）设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m，n＞0），
由椭圆的焦点为（±2$\sqrt{5}$，0），可得m=2$\sqrt{5}$，
由椭圆的左右顶点为（±3$\sqrt{5}$，0），
可得$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
解得n=5，
即有双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{20}$-$\frac{{y}^{2}}{25}$=1．

点评 本题考查椭圆和双曲线的方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式和双曲线的性质，考查运算能力，属于基础题．