Question

2．某地拟建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓如图所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中E（0，t）（0＜t≤25）；曲线BC是抛物线y=-ax²+50（a＞0）的一部分；CD⊥AD，且CD恰好等于圆E的半径．假定拟建体育馆的高OB=50（单位：米，下同）．
（1）若t=20、a=$\frac{1}{49}$，求CD、AD的长度；
（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，求a的取值范围；
（3）若a=$\frac{1}{25}$，求AD的最大值．

Answer 1

分析 （1）分别求出OD和AO的长，相加即可；（2）问题转化为$\sqrt{\frac{1}{a}}≤\sqrt{t}+\frac{25}{{\sqrt{t}}}$恒成立，根据级别不等式的性质解出即可；
（3）法一：根据三角函数知识解答；法二：根据圆的知识解答即可．

解答 解：（1）因为圆E的半径为OB-OE=50-t=30，
所以CD=30．
在$y=-\frac{1}{49}{x^2}+50$中令y=30，得$OD=14\sqrt{5}$．
在圆E：x²+（y-20）²=30²，中令y=0，得$AO=10\sqrt{5}$，
所以$AD=AO+OD=10\sqrt{5}+14\sqrt{5}=24\sqrt{5}$．
（2）由圆E的半径为OB-OE=50-t，得CD=50-t．
在y=-ax²+50中令y=50-t，得$OD=\sqrt{\frac{t}{a}}$．$DF=OF+OD=50-t+\sqrt{\frac{t}{a}}$．
由题意知，$50-t+\sqrt{\frac{t}{a}}≤75$对t∈（0，25]恒成立，所以$\sqrt{\frac{1}{a}}≤\sqrt{t}+\frac{25}{{\sqrt{t}}}$恒成立．
当$\sqrt{t}=\frac{25}{{\sqrt{t}}}$，即t=25时，$\sqrt{t}+\frac{25}{{\sqrt{t}}}$取得最小值10，
故$\sqrt{\frac{1}{a}}≤10$，解得$a≥\frac{1}{100}$．
（3）当$a=\frac{1}{25}$时，$OD=5\sqrt{t}$．
又圆E的方程为x²+（y-t）²=（50-t）²，
令y=0，得$x=±10\sqrt{25-t}$，所以$OA=10\sqrt{25-t}$，从而$AD=10\sqrt{25-t}+5\sqrt{t}$．
下求$f（t）=10\sqrt{25-t}+5\sqrt{t}（0＜t≤25）$的最大值．
方法一：令$t=25{cos^2}α，α∈[{0，\frac{π}{2}}）$，
则$AD=10\sqrt{25-t}+5\sqrt{t}=10×5sinα+5×5cosα$=$25\sqrt{5}•sin（α+φ）$，其中φ是锐角，且$tanφ=\frac{1}{2}$，
从而当$α+φ=\frac{π}{2}$时，AD取得最大值$25\sqrt{5}$．
方法二：令$x=\sqrt{25-t}，y=\sqrt{t}$，则题意相当于：已知x²+y²=25（x≥0，y≥0），
求z=AD=5（2x+y）的最大值．
当直线$y=-2x+\frac{z}{5}$与圆弧x²+y²=25（x≥0，y≥0）相切时，z取得最大值$25\sqrt{5}$．
答：当t=5米时，AD的最大值为$25\sqrt{5}$米．

点评 本题考查了直线和圆的位置关系，考查三角函数问题，考查函数恒成立问题，是一道难题．